Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-6z+m=0\left(m\right.$  là tham số thực). Gọi $m_0$  là một giá trị nguyên của m  để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$  thỏa mãn $z_1.\overline{z_1}=z_2.\overline{z_2}$ . Trong khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị nguyên $m_0$ ?

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình $z^2-6z+m=0$

Ta có: ${\Delta }^{\text{'}}=3^2-m=9-m$ .

TH1: Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt $z_1,z_2\iff {\Delta }^{\text{'}}<0\iff 9-m<0\iff m>9$ .

Suy ra phương trình có hai nghiệm phức thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}{z}_1=\overline{z_2}\\ z_2=\overline{z_1}\end{array}\right.$ .

Ta có: $z_1.\overline{z_1}=z_2.\overline{z_2}\iff z_1.z_2=z_2.z_1$  (luôn đúng)

Vậy $m\in \left(9;+\infty \right)$ .

Mà $m\in \mathbb{Z};m\in \left(0;20\right)\Rightarrow m\in \left\{10;\mathrm{.....};19\right\}$ .

TH2: Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff 9-m>0\iff m<9$ .

Ta có: $z_1.\overline{z_1}=z_2.\overline{z_2}\iff z_1.z_1=z_2.z_2\iff \left[\begin{array}{l}{z}_1=z_2\left(L\right)\\ z_1=-z_2\left(N\right)\end{array}\right.$

 $\Rightarrow z_1+z_2=0$(vô lý)

Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.