Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x^9+3x^2-9x= m+ 3 căn 3 của 9x+m có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

Trả lời

Ta có $x^9+3x^3-9x=m+3\sqrt[3]{9x+m}\iff {\left(x^3\right)}^3+3x^3={\left(\sqrt[3]{9x+m}\right)}^3+3\sqrt[3]{9x+m} \left(1\right)$  .

Hàm số $f\left(t\right)=t^3+3t$ có $f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2+3>0$, $\forall t\in ℝ$ nên nó đồng biến trên R.

Mặt khác, theo (1) ta có$f\left(x^3\right)=f\left(\sqrt[3]{9x+m}\right)\iff \iff x^3=\sqrt[3]{9x+m}$  hay  $m=x^9-9x (*)$.

Đặt $g\left(x\right)=x^9-9x$, ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=9x^8-9$; $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \iff x=\pm 1$.

Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt $\iff$ phương trình (*) có đúng hai nghiệm thực phân biệt $\iff m=-8$ hoặc m=8.