Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác

Đề bài. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác.

a) Tính độ dài BI.

b) Đường vuông góc với BI tại I cắt BC tại M. Chứng minh: BM = MC.

Trả lời

a) Gọi D là giao điểm của BI và AC

BC = $\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}\mathrm{ }=10(cm)$

$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

Suy ra: AD = $\frac{3}{5}DC$ mà AD + DC = AC = 8cm

Ta tính được: AD = 3cm, CD = 5cm

Do đó: BD² = AB² + AD² = 45 nên BD = $3\sqrt{5}cm$

Ta có: $\frac{AB}{AD}=\frac{BI}{ID}=\frac{6}{3}=2$

Suy ra: BI = 2ID mà BI + ID = BD = $3\sqrt{5}$

Suy ra: BI = $2\sqrt{5}cm$

b) $\widehat{I_1}=\widehat{B_1}+\widehat{C_1}={45}^{\circ }\mathrm{ }\Rightarrow \widehat{I_2}={45}^{\circ }$

Xét tam giác ICM và tam giác ICD có:

$\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$ (vì CI là phân giác)

Chung IC

$\widehat{I_1}=\widehat{I_2}={45}^{\circ }$

⇒ ∆ICM = ∆ICD (g.c.g)

Suy ra: CM = CD = 5cm

Ta thấy: $\frac{CD}{CB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Mà $\frac{CM}{BC}=\frac{1}{2}$

Suy ra M là trung điểm BC, tức BM = MC.