Cho Parabol (P): y = x^2 và đường thẳng (d) : y = 2.(m + 3).x – 2.m + 2

Đề bài. Cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d) : y = 2(m + 3)x – 2m + 2 (m là tham số, m thuộc R).

a) Với m = - 5 tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d).

b) Chứng minh rằng: Parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm cùng nằm bên phải trục tung.

Trả lời

a) m = -5 thì (d): y = -4x + 12

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² = -4x + 12

⇒ $x^2$ + 4x-12= 0

⇒ x= 2 hoặc x= -6

Với x = 2 ⇒ y = 4

Với x = -6 ⇒ y = 36

Vậy 2 điểm cần tìm là (2; 4) và (-6; 36).

b) Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P) là:

x² = 2(m + 3)x – 2m + 2

⇔ x² – 2(m + 3)x + 2m – 2 = 0 (*)

∆' = (m + 3)² – (2m – 2) = m² + 4m + 11 = (m + 2)² + 7 > 0 với mọi m

Nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo định lý Vi-ét: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2(m+3)\\ x_1{x}_2=2m-2\end{array}$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm cùng nằm bên phải trục tung thì hai điểm có hoành độ dương

Suy ra: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2(m+3)>0\\ x_1{x}_2=2m-2>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}m-3\\ m>1\end{array}\Rightarrow m>1$.

Vậy m > 1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm cùng nằm bên phải trục tung.