Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH = 4cm

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH = 4cm; HC = 6cm.

a) Gọi M là trung điểm của AC. Tính số đo góc $\widehat{AMB}$ (làm tròn đến độ).

b) Kẻ AK vuông góc với BM (K thuộc BM). Chứng minh BK.BM = BH.BC.

Trả lời

a) $\cos \widehat{AMB}=\frac{A{M}^2+M{B}^2-A{B}^2}{2.AM.MB}$ (*)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

AH² = BH.HC = 4.6 = 24 ⇒ $AH=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$cm

$AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}=2\sqrt{10}$cm

$AC=\sqrt{A{H}^2+C{H}^2}\mathrm{ }=2\sqrt{15}$cm

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}\mathrm{ }=10$cm

BM là đường trung tuyến nên ta có:

$B{M}^2=\frac{A{B}^2+B{C}^2}{2}-\frac{A{C}^2}{4}=52\Rightarrow BM=2\sqrt{13}cm$

$AM=MC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{10}cm$

Thay số vào (*) ta có: $\cos \widehat{AMB}=\frac{{\left(\sqrt{10}\right)}^2+{(2\sqrt{13})}^2-{(2\sqrt{10})}^2}{2.\sqrt{10}.2\sqrt{13}}=0,15$

Suy ra: $\widehat{AMB}\approx 81,{22}^{\circ }$

b) Xét ΔABM vuông tại A có AK là đường cao nên BK.BM = AB² (1)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao nên BH.BC = AB² (2)

Từ (1) và (2) suy ra BK.BM = BH.BC.