Cho a, b, c thuộc ℕ*: a^2 + b^2 = c^2. Chứng minh abc chia hết cho 60

Đề bài. Cho a, b, c thuộc ℕ^*: a² + b² = c². Chứng minh abc chia hết cho 60.

Trả lời

Giả sử cả 3 số trên đều không chia hết cho 3

⇒ a² ≡ 1 (mod3) và b² ≡ 1 (mod3) (bình phương 1 số chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1)

⇒ a² + b² ≡ 2 (mod3) nhưng c² ≡ 1 (mod3) ⇒ mâu thuẫn

Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (1)

+ Tương tự, có ít nhất 1 số chia hết cho 4, vì giả sử cả 3 số a, b, c đều không chia hết cho 4

⇒ a² ≡ 1 (mod4) và b² ≡ 1 (mod4)

⇒ a² + b² ≡ 2 (mod 4) nhưng c² ≡ 1 (mod 4) ⇒ mâu thuẫn

Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2)

+ Tương tự a² = 1 (mod 5) hoặc a² = -1 (mod 5) hoặc a² = 4 (mod 5) và -1 + 1 = 0,1 + 4 = 5,-1 + 4 = 3

⇒ phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ abc chia hết cho BCNN(3, 4, 5) = 60 hay abc chia hết 60.