Tam giác ABC đều cạnh a, dựng hình vuông BCMN. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo a độ dài

Đề bài. Tam giác ABC đều cạnh a, dựng hình vuông BCMN. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo a độ dài vectơ $\overrightarrow{u}\mathrm{ }=\overrightarrow{GA}\mathrm{ }+\overrightarrow{GB}\mathrm{ }+\overrightarrow{GM}\mathrm{ }+\overrightarrow{GN}.\mathrm{ }$

Trả lời

$\overrightarrow{u}\mathrm{ }=\overrightarrow{GA}\mathrm{ }+\overrightarrow{GB}\mathrm{ }+\overrightarrow{GM}\mathrm{ }+\overrightarrow{GN}\mathrm{ }$

= $\overrightarrow{GA}\mathrm{ }+\overrightarrow{GB}\mathrm{ }+\overrightarrow{GC}\mathrm{ }+\overrightarrow{CM}\mathrm{ }+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}$

$=\overrightarrow{GA}\mathrm{ }+\overrightarrow{GB}\mathrm{ }+\overrightarrow{GC}\mathrm{ }+\overrightarrow{GB}\mathrm{ }+\overrightarrow{CM}\mathrm{ }+\overrightarrow{BN}\mathrm{ }=\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{BN}$

G là trọng tâm nên $BG=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ta có $\left|\overrightarrow{u}\right|=|\overrightarrow{GB}\mathrm{ }+2\overrightarrow{BN}|$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\left|\overrightarrow{u}\right|}^2=B{G}^2+4B{N}^2+4.\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{BN}\mathrm{ } \\ =\frac{a^2}{3}+4a^2+4.\frac{a\sqrt{3}}{3}.a.\cos {120}^{\circ }\mathrm{ }=\frac{13-2\sqrt{3}}{3}{a}^2 \end{gathered}$$

Vậy $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\frac{13-2\sqrt{3}}{3}}a.$