Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau
227
18/11/2023
Bài 6.26 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2: Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau:
sinhx =12(ex−e−x);coshx=12(ex+e−x).
Chứng minh rằng:
a) sinh x là hàm số lẻ;
b) cosh x là hàm số chẵn;
c) (cosh x)2 – (sinh x)2 = 1 với mọi x.
Trả lời
a) Hàm số f(x) = sinhx =12(ex−e−x) có tập xác định D = ℝ.
Ta có: ∀ x ∈ D ⇒ – x ∈ D.
Và f(−x)=12(e−x−ex)=−12(ex−e−x)=−f(x) , ∀ x ∈ ℝ.
Do đó, sinh x là hàm số lẻ.
b) Hàm số g(x)=coshx=12(ex+e−x) có tập xác định D = ℝ.
Ta có: ∀ x ∈ D ⇒ – x ∈ D.
Và g(−x)=12(e−x+ex)=g(x) , ∀ x ∈ ℝ.
Do đó, cosh x là hàm số chẵn.
c) Ta có: (cosh x)2 – (sinh x)2 =14(ex+e−x)2−14(ex−e−x)2
=14(e2x+2ex⋅e−x+e−2x)−14(e2x−2ex⋅e−x+e−2x)
=14e2x+12+14e−2x−14e2x+12−14e−2x=1.
Do đó, (cosh x)2 – (sinh x)2 = 1 với mọi x.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: