Hướng dẫn giải

Ta có $y^{\text{'}}=4x^3-4\left(m-1\right)x$ . Xét       $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m-1\end{array}\right.$ (2)    .

Hàm số có ba điểm cực trị khi $m>1$ .

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là $A\left(0;3m\right)$ ,$B\left(\sqrt{m-1};5m-m^2-1\right)$  và $C\left(-\sqrt{m-1};5m-m^2-1\right)$ .

Suy ra $A{B}^2=A{C}^2=\left(m-1\right)+{\left(m-1\right)}^4$  ; $BC=2\sqrt{m-1}$ .

Tam giác ABC là tam giác cân tại A, có một góc bằng ${60}^{\circ }$  nên là tam giác đều $\iff AB=BC\iff \left(m-1\right)+{\left(m-1\right)}^4=4\left(m-1\right)\iff m=1+\sqrt[3]{3}$ .

Chọn B.