Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y=2x+\frac{mx}{\sqrt{x^2+2}}$  có điểm cực trị và tất cả các điểm cực trị thuộc hình tròn tâm O, bán kính $\sqrt{68}$ ?

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D=ℝ$ .

Ta có: $y=2x+\frac{mx}{\sqrt{x^2+2}}$ ,$\Rightarrow y^{\text{'}}=2+\frac{2m}{{\left(\sqrt{x^2+2}\right)}^3}$$\forall x\in ℝ$ .

$y^{\text{'}}=0\iff \sqrt{x^2+2}=-\sqrt[3]{m}$.

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi $-\sqrt[3]{m}>\sqrt{2}\iff m<-2\sqrt{2}$ .

Gọi $A\left(a;b\right)$  ($a\ne 0$ ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số, khi đó:

 $\sqrt{a^2+2}=-\sqrt[3]{m}$ và $b=2a+\frac{ma}{\sqrt{a^2+2}}=2a+\frac{ma}{-\sqrt[3]{m}}=a\left(2-\sqrt[3]{m^2}\right)=a\left(-a^2\right)=-a^3$ .

Theo đề bài ta có $OA\le \sqrt{68}\iff a^2+b^2\le \sqrt{68}\iff a^2+a^6\le \sqrt{68}\iff a^2\le 4$ .

Ta có:

$0<a^2\le 4\iff \sqrt{2}<\sqrt{a^2+2}\le \sqrt{6}\iff \sqrt{2}<-\sqrt[3]{m}\le \sqrt{6}\iff -6\sqrt{6}<m\le -2\sqrt{2}$.

Vì $m\in \mathbb{Z}$  và $-6\sqrt{6}<m\le -2\sqrt{2}$  nên $m\in \left\{-14;-13;\mathrm{...};-4;-3\right\}$ .

Vậy có 12 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài.

Chọn C.