Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=x^8+\left(m-2\right)x^5-\left(m^2-4\right)x^4+1$  đạt cực tiểu tại $x=0$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=8x^7+5\left(m-2\right)x^4-4\left(m^2-4\right)x^3=x^3.h\left(x\right)$  với $h\left(x\right)=8x^4+5\left(m-2\right)x-4\left(m^2-4\right)$ .

Ta xét các trường hợp sau:

·       Nếu $m^2-4=0\iff m=\pm 2$  .

-      Khi $m=2$  thì $y^{\text{'}}=8x^7\Rightarrow x=0$  là điểm cực tiểu nên $m=2$  thỏa mãn.

-      Khi $m=-2$  thì $y^{\text{'}}=x^4\left(8x^3-20\right)\Rightarrow x=0$  không là điểm cực tiểu.

·       Nếu $m^2-4\ne 0\iff m\ne \pm 2\Rightarrow h\left(0\right)\ne 0$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0 khi và chỉ khi giá trị đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x=0.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }h\left(x\right)>0\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }h\left(x\right)>0\end{array}\right.\iff \underset{x\to 0}{\lim }h\left(x\right)>0$

$\Rightarrow -4\left(m^2-4\right)>0\iff -2<m<2\Rightarrow m\in \left\{-1;0;1\right\}$.

Tổng hợp các trường hợp ta có $m\in \left\{-1;0;1;2\right\}$ .

Vậy có bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

Chọn C.