Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y=x+m.\sqrt{x^2+1}$  có điểm cực trị và tất cả các điểm cực trị thuộc hình tròn tâm O, bán kính $\frac{\sqrt{82}}{3}$ ?

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D=ℝ$ .

Ta có $y^{\text{'}}=1+m.\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Cho $y^{\text{'}}=0\iff m=-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ , ($x\ne 0$ ).

Xét $g\left(x\right)=-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x^2.\sqrt{x^2+1}}>0$ ,$\forall x\ne 0$ .

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-1$ ; $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=1$ ; $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ ; $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ .

Bảng biến thiên:

Hàm số có cực trị khi $m\in ℝ\backslash \left[-1;1\right]$ .

Gọi $A\left(a;b\right)$  là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó $m=-\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}$  và $b=a-\frac{a^2+1}{a}=-\frac{1}{a}\Rightarrow A\left(a;-\frac{1}{a}\right)$ .

Ta có: $OA=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}\le \frac{\sqrt{82}}{3}\Rightarrow \frac{1}{9}\le a^2\le 9$ .

Vậy $\left|m\right|=\left|\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}\right|=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}\in \left[\frac{\sqrt{10}}{3};\sqrt{10}\right]$ .

Kết hợp với các điều kiện $m\in \mathbb{Z}$ , $m\in ℝ\backslash \left[-1;1\right]$ , ta được $m\in \left\{-3;-2;2;3\right\}$ .

Chọn A.