Điều kiện: $x\ne -2$  . Ta có $y^{\text{'}}=\frac{x^2+4x+4-m^2}{{\left(x+2\right)}^2}$ .

Ta có $x^2+4x+4-m^2=0\iff \left[\begin{array}{l}x=m-2\\ x=-m-2\end{array}\right.$ .

Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi $m\ne 0$ .

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị là

$A\left(-m-2;-2\right)$, $B\left(m-2;4m-2\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(2m;4m\right)$

Dễ thấy $\overrightarrow{OA}$ ,$\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{0}$ .

Trường hợp 1: Tam giác $OAB$  vuông tại O

$\iff \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\iff -m^2-8m+8=0\iff m=-4\pm 2\sqrt{6}$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2: Tam giác $OAB$  vuông tại A$\iff \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB}=0$

$\iff 2m\left(-m-2\right)-2.4m=0\iff -m-2-4=0\iff m=-6$ (thỏa mãn)

Trường hợp 3: Tam giác $OAB$  vuông tại  B$\iff \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AB}=0$

$\iff 2m\left(m-2\right)+\left(4m-2\right)4m=0\iff m-2+2\left(4m-2\right)=0\iff m=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn)

Vậy có bốn giá trị thực của m thỏa mãn đề bài.

Chọn A.