Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-\left|m\right|x+4}{x-\left|m\right|}$  có hai điểm cực trị A, B và ba điểm A,B  , $C\left(4;2\right)$  phân biệt thẳng hàng?

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x\ne \left|m\right|$ .

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{x^2-2\left|m\right|x+m^2-4}{{\left(x-\left|m\right|\right)}^2}=\frac{{\left(x-\left|m\right|\right)}^2-4}{{\left(x-\left|m\right|\right)}^2}$ .

Cho $y^{\text{'}}=0\iff {\left(x-\left|m\right|\right)}^2-4=0\iff \left[\begin{array}{l}x=\left|m\right|+2\Rightarrow y=\left|m\right|+4\\ x=\left|m\right|-2\Rightarrow y=\left|m\right|-4\end{array}\right.$ .

Do $\left|m\right|+2\ne \left|m\right|-2$ , $\forall m$  nên $y^{\text{'}}=0$  luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do đó đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị là $\left(AB\right):y=2x-\left|m\right|$ . Ba điểm A,B  , $C\left(4;2\right)$  phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}C\left(4;2\right)\in \left(AB\right)\\ \left|m\right|+2\ne 4\\ \left|m\right|-2\ne 4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left|m\right|=6\\ \left|m\right|\ne 2\\ \left|m\right|\ne 6\end{array}\right.$ .

Suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài.

Chọn A.