Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[-10;10\right]$  để hàm số $y=-2x+2+m\sqrt{x^2-4x+5}$  có cực tiểu?

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trênR  .

Ta có $y^{\text{'}}=-2+m.\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}$  và $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{m}{\sqrt{{\left(x^2-4x+5\right)}^3}}$ .

 $y^{\text{'}}=0\iff 2\sqrt{{\left(x-2\right)}^2+1}=m\left(x-2\right)\iff \left\{\begin{array}{l}m\left(x-2\right)>0\\ \left(m^2-4\right){\left(x-2\right)}^2=4\end{array}\right.$ .

Hàm số có cực tiểu khi và chỉ khi (1) có nghiệm $$$\Rightarrow m^2-4>0\iff \left[\begin{array}{l}m>2\\ m<-2\end{array}\right.$ .

Khi đó, $\left(1\right)$  có hai nghiệm phân biệt là $x_{1;2}=2\pm \frac{2}{\sqrt{m^2-4}}$ .

·       Với $m>2$ , thì $x_1=2+\frac{2}{\sqrt{m^2-4}}$  thỏa mãn $y^{\text{'}}\left(x_1\right)=0$  và $y^{\text{'}\text{'}}\left(x_1\right)>0$ , $\left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}=0\\ y^{\text{'}\text{'}}>0\end{array}\right.$ suy ra $x_1$  là điểm cực tiểu, nhận  $m>2$ .

·       Với $m<-2$ , thì $x_2=2-\frac{2}{\sqrt{m^2-4}}$  thỏa mãn $y^{\text{'}}\left(x_2\right)=0$  và $y^{\text{'}\text{'}}\left(x_2\right)<0$ , suy ra $x_2$  là điểm cực đại, loại, do $m<-2$ .

Do m nguyên,$m>2$  và $m\in \left[-10;10\right]$  nên $m\in \left\{3;4;\mathrm{...};9;10\right\}$ .

Chọn C.