Giá trị của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+mx}{1-x}$  bằng 10 là

Điều kiện: $x\ne 1$ .

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-x^2+2x+m}{{\left(1-x\right)}^2}$ .

Hàm số có hai cực trị khi $-x^2+2x+m=0$  có hai nghiệm phân biệt $x_1$ , $x_2$  khác

$\iff \left\{\begin{array}{l}-1+2+m\ne 0\\ {\Delta }^{\text{'}}=1+m>0\end{array}\right.\iff m>-1$.

Khi đó theo định lý Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1.x_2=-m\end{array}\right.$ .

Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là $\left(d\right):y=-2x-m$ .

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị là $A\left(x_1;-2x_1-m\right)$ , $B\left(x_2;-2x_2-m\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;2x_1-2x_2\right)$.

Theo yêu cầu của đề bài ta có

${\left(x_1-x_2\right)}^2+4{\left(x_1-x_2\right)}^2=100\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1.x_2=20$.

$\iff 4+4m=20$

$\iff m=4$

Chọn C.