Giả sử A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ và đường thẳng (AB) đi qua gốc tọa độ. Giá trị lớn nhất $P_{\min }$  của $P=abc+ab+c$  bằng

Đường thẳng qua hai cực trị là $\left(AB\right):y=\left(\frac{2}{3}b-\frac{2a^2}{9}\right)x+c-\frac{ab}{9}.$

Do (AB) qua gốc O nên $c-\frac{ab}{9}=0\iff ab=9c.$

Khi đó $P=abc+ab+c=9c^2+10c={\left(3c+\frac{5}{3}\right)}^2-\frac{25}{9}\ge -\frac{25}{9},\forall c\in ℝ.$

Vậy $P_{\min }=-\frac{25}{9}$ khi $\left\{\begin{array}{l}c=-\frac{5}{9}\\ ab=-5\end{array}\right..$

Chọn D.