Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=2x^4-4m{x}^2+1$  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng ${30}^{\circ }$ ?

Ta có $y^{\text{'}}=8x^3-8mx$ ; $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}\right.$ .

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi $m>0$  .

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là $A\left(0;1\right)$ ,$B\left(\sqrt{m};-2m^2+1\right)$ ,$C\left(-\sqrt{m};-2m^2+1\right)$

$\Rightarrow A{B}^2=A{C}^2=m+4m^4$, $BC=2\sqrt{m}$ .

Do đó tam giác ABC cân tại A.

+       Trường hợp 1:$\widehat{BAC}=30°$ , ta có $\cos \widehat{BAC}=\frac{2A{B}^2-B{C}^2}{2A{B}^2}\iff \left(2-\sqrt{3}\right)A{B}^2=B{C}^2$

$\begin{array}{l}\iff \left(2-\sqrt{3}\right)\left(m+4m^4\right)=2m\\ \iff 4\left(2-\sqrt{3}\right)m^3=\sqrt{3}\end{array}$.

Phương trình này có đúng một nghiệm thực.

+       Trường hợp 2:$\widehat{ABC}=30°$ , khi đó

$BC=\sqrt{3}.AB\iff 3A{B}^2=B{C}^2\iff 3m+12m^4=4m\iff 12m^3=1$.

Phương trình này có đúng một nghiệm thực.

Chọn B.