Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y=mx+\frac{1}{x}$  có hai điểm cực trị và tất cả các điểm cực trị đều thuộc hình tròn tâm O, bán kính 6?

Điều kiện: $x\ne 0$ . Ta có:$y^{\text{'}}=m-\frac{1}{x^2}$ .

Hàm số có hai điểm cực trị khi $m>0$ . Khi đó $y^{\text{'}}=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{m}}\\ x=-\frac{1}{\sqrt{m}}\end{array}\right.$ .

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị là $A\left(\frac{1}{\sqrt{m}};2\sqrt{m}\right)$ , $B\left(-\frac{1}{\sqrt{m}};-2\sqrt{m}\right)$ .

Theo đề bài ta có $O{A}^2=O{B}^2=\frac{1}{m}+4m\le 36\iff 4m^2-36m+1\le 0$ .

Do $m\in \mathbb{Z}$ ,  $m>0$   nên $m\in \left\{1;2;\mathrm{3...};8\right\}$ .

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn B