Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh
1.6k
09/06/2023
Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:
a) →EA+→EB+→EC+→ED=4→EG;
b) →EA=4→EG;
c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và →AG=34→AE.
Trả lời
a) Do M là trung điểm của AB nên →GA+→GB=2→GM (1).
Do N là trung điểm của CD nên →GC+→GD=2→GN (2).
Do G là trung điểm của MN nên GM = GN.
Ta thấy hai vectơ →GM và →GN ngược hướng và GM = GN nên →GM=−→GN.
Do đó →GM+→GN=−→GN+→GN=→0.
Từ (1) và (2) ta có →GA+→GB+→GC+→GD=2→GM+2→GN=2(→GM+→GN)=→0.
Ta có
→EA+→EB+→EC+→ED=→EG+→GA+→EG+→GB+→EG+→GC+→EG+→GD.
=4→EG+(→GA+→GB+→GC+→GD)
=4→EG
Vậy →EA+→EB+→EC+→ED=4→EG.
b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên →EB+→EC+→ED=→0.
Do đó →EA=4→EG.
c) Do →EA=4→EG nên hai vectơ →EA và →EG cùng hướng.
Mà 4 > 0 nên G nằm giữa A và E.
Do đó |→EA|=4|→EG| hay EA = 4EG.
⇒ EG = 14EA
⇒ AG = 34EA.
Ta thấy hai vectơ →AG và →AE cùng hướng và AG = 34EA nên →AG=34→AE.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:
Bài 3: Khái niệm vectơ
Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 5: Tích của một số với một vectơ
Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ
Bài tập cuối chương 4
Chủ đề 1: Đo góc