Cho hình bình hành ABCD. Đặt vectơ AB = vectơ a, vectơ AD = vectơ b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ AG, vectơ CG theo hai vectơ a, vectơ b

Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{CG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Trả lời

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$.

Do M là trung điểm của BC nên BM = $\frac{1}{2}$BC.

Hai vectơ $\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và BM = $\frac{1}{2}$BC nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{\overrightarrow{b}}{2}$.

Do N là trung điểm của AB nên NB = $\frac{1}{2}$AB.

Hai vectơ $\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng và NB = $\frac{1}{2}$AB nên $\overrightarrow{BN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{-\overrightarrow{a}}{2}$.

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{a}+\frac{\overrightarrow{b}}{2}$; $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{b}-\frac{\overrightarrow{a}}{2}$.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CN}$.

Do đó $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{a}+\frac{\overrightarrow{b}}{2}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\left(-\overrightarrow{b}-\frac{\overrightarrow{a}}{2}\right)=\frac{-2}{3}\overrightarrow{b}-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Khái niệm vectơ

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Chủ đề 1: Đo góc