Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn vectơ DB = 1/3 (vectơ BC), vectơ AE =1/3 (vectơ AC), vectơ AH=2/3 (vectơ AB)

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn 

$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

a) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DH},\overrightarrow{HE}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Trả lời

Vì $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và $DB=\frac{1}{3}BC$.

$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng và AE = $\frac{1}{3}AC$.

$\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AB}$ cùng hướng và $AH=\frac{2}{3}AB$.

a) Do $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}}{3}-\frac{\overrightarrow{AC}}{3}$.

Ta có: $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{\overrightarrow{AB}}{3}-\frac{\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{A\text{E}}-\overrightarrow{AH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

b) Từ phần a ta thấy $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó D, H, E thẳng hàng và H là trung điểm của DE.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Khái niệm vectơ

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Chủ đề 1: Đo góc