Cho tam giác vuông trong đó có một góc bằng trung bình cộng của hai góc còn lại

Đề bài. Cho tam giác vuông trong đó có một góc bằng trung bình cộng của hai góc còn lại, cạnh lớn nhất của tam giác đó bằng a. Diện tích của tam giác đó bằng bao nhiêu?

Trả lời

Gọi tam giác thỏa mãn đề bài là ABC với $\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}$ (cạnh lớn nhất là BC)

Theo bài cho tam giác ABC vuông nên suy ra: $\widehat{A}={90}^{\circ }$

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{\circ }$

Mà: $\widehat{A}+\widehat{C}=2\widehat{B}$

Suy ra: $3\widehat{B}={180}^{\circ }\Rightarrow \widehat{B}={60}^{\circ }$

$\cos {60}^{\circ }=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AB=BC.\cos {60}^{\circ }=\frac{a}{2}$

Diện tích tam giác là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{B}=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}.$