Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME

Bài 78 trang 90 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME.

a) Chứng minh DE = FN và tam giác DFN là tam giác cân.

b) Trên tia đối của tia FD lấy điểm A sao cho FA = FD. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác NEA.

c) Chứng minh tam giác DNA là tam giác vuông.

d) Kẻ EB vuông góc với NA (B ∈ NA). Chứng minh ba điểm E, F, B thẳng hàng.

Trả lời

a) Xét $∆$DME và $∆$FMN có:

DM = FM (vì M là trung điểm của DF),

$\widehat{DME}=\widehat{FMN}$ (hai góc đối đỉnh),

ME = MN (giả thiết)

Do đó ∆DME = ∆FMN (c.g.c)

Suy ra DE = FN (hai cạnh tương ứng).

Vì tam giác DFE cân tại D nên DE = DF.

Do đó DE = DF = FN.

Tam giác DFN có DF = FN nên tam giác DFN cân tại F.

Vậy tam giác DFN cân tại F.

b) Ta có MD = MF = $\frac{1}{2}$DF và FA = FD nên MF = $\frac{1}{2}$FA

Mà AF + FM = AM nên AF + $\frac{1}{2}$AF = AM

Suy ra $\frac{3}{2}$AF = AM hay AF = $\frac{2}{3}$AM.

Trong tam giác NEA có AM là trung tuyến và AF = $\frac{2}{3}$AM nên F là trọng tâm của tam giác NEA.

Vậy F là trọng tâm của tam giác NEA.

c) • Ta có: DF = FN, DF = FA nên AF = FN.

Suy ra tam giác FNA cân tại F.

Do đó $\widehat{F\text{A}N}=\widehat{FNA}$ (hai góc ở đáy)

• Vì tam giác DFN cân tại F nên $\widehat{FDN}=\widehat{FND}$ (hai góc ở đáy)

• Xét $∆$DNA có $\widehat{A\text{D}N}+\widehat{DNA}+\widehat{NAD}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{FND}+\widehat{DNA}+\widehat{FNA}=180°$ 

Hay $\left(\widehat{FND}+\widehat{FNA}\right)+\widehat{DNA}=\widehat{DNA}+\widehat{DNA}=180°$

Suy ra $2\widehat{DNA}=180°$

Do đó $\widehat{DNA}=\frac{180°}{2}=90°$

Vậy tam giác DNA là tam giác vuông tại N.

d) Xét $∆$DMN và $∆$FME có:

DM = FM (vì M là trung điểm của DF),

$\widehat{DMN}=\widehat{FME}$ (hai góc đối đỉnh),

EM = MN (giả thiết)

Do đó ∆DMN = ∆FME (c.g.c)

Suy ra $\widehat{MDN}=\widehat{MFE}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Nên EF // DN

Lại có $\widehat{DNA}=90°$ (chứng minh câu c) hay DN ⊥ NA.

Suy ra EF ⊥ NA (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại).

Mặt khác EB ⊥ NA (giả thiết)

Suy ra ba điểm E, F, B cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm E, F, B thẳng hàng.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác