Giải SBT Toán 7 (Cánh diều) Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Với giải sách bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 7 Bài 13. Mời các bạn đón xem:

Giải Sách bài tập Toán lớp 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 92 trang 97 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB > AC > BC và H là trực tâm. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) H là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

b) CH vuông góc với AB.

c) AH vuông góc với BC.

Lời giải

Sách bài tập Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác  (ảnh 1) 

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên H là giao điểm của ba đường cao trong tam giác ABC.

Do đó phát biểu a là sai.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CH  AB. Do đó phát biểu b là đúng.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH  BC. Do đó phát biểu c là đúng.

Vậy phát biểu a là sai, phát biểu b và c là đúng.

Bài 93 trang 97 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB > AC > BC và K là trực tâm. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

a) K là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

b) K là giao điểm ba đường cao của tam giác ABC.

c) K là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

d) K là giao điểm ba đường trung tuyến của tam giác ABC.

Lời giải

Sách bài tập Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác  (ảnh 1) 

Vì K là trực tâm của tam giác ABC nên K là giao điểm của ba đường cao trong tam giác ABC.

Do đó phát biểu b là đúng.

Vậy ta chọn phát biểu b.

Bài 94 trang 97 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (Hình 61). Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HBC, HCA.

Sách bài tập Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác  (ảnh 1) 

Lời giải

 Xét tam giác HAB có BD  AH, AE  BH, HF  AB và ba đường cao BD, AE, HF cắt nhau tại C.

Do đó C là trực tâm tam giác HAB.

 Xét tam giác HBC có HD  BC, BF  HCCE  BH và ba đường cao HD, BFCE cắt nhau tại A.

Do đó A là trực tâm tam giác HBC.

 Xét tam giác HCA có HE  AC, AF  HC, CD  AH và ba đường cao HE, AF, CD cắt nhau tại B.

Do đó B là trực tâm tam giác HCA.

Vậy trực tâm của các tam giác HAB, HBC, HCA tương ứng là C, A, B.

Bài 95 trang 97 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H đồng thời cũng là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Tính số đo các góc của tam giác ABC.

Lời giải

Sách bài tập Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác  (ảnh 1) 

Gọi M là giao điểm của AH và BC.

Vì H cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nên HA = HB = HC.

Do HB = HC nên H nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Tam giác ABC có trực tâm H nên AH  BC tại M.

Do đó AH là đường trung trực của BC và M là trung điểm của BC.

Khi đó MB = MC.

Xét ABM và ACM có:

AMB^=AMC^=90°,

AM là cạnh chung,

MB = MC (chứng minh trên).

Do đó ABM = ACM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta cũng có: AB = BC.

Do đó AB = BC = AC nên tam giác ABC là tam giác đều.

Suy ra ba góc của tam giác ABC đều có số đo bằng 60°.

Vậy số đo các góc của tam giác ABC đều bằng 60°.

Bài 96 trang 97 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Vẽ BE vuông góc với CD tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BE; K là hình chiếu của I trên BC.

a) Chứng minh ba điểm D, I, K thẳng hàng.

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để I là trọng tâm của tam giác BCD.

Lời giải

Sách bài tập Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác  (ảnh 1) 

a) Xét tam giác BCD có I là giao điểm của hai đường cao CA và BE nên I là trực tâm của tam giác DBC.

Suy ra DI  BC.  

Mặt khác, IK  BC (giả thiết).

Do đó đường cao DI đi qua K nên ba điểm D, I, K thẳng hàng.

Vậy ba điểm D, I, K thẳng hàng.

b) Xét CDA và CBA có:

CAD^=CAB^=90o,

CA là cạnh chung,

AD = AB (giả thiết)

Do đó CDA = CBA (hai cạnh góc vuông)

Suy ra CD = CB (hai cạnh tương ứng) (1)

Tam giác BCD có I là trọng tâm của tam giác nên BE là đường trung tuyến của tam giác.

Do đó CE = DE.

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có BDE = BCE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BD = BC (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có BC = CD = DB nên tam giác BCD là tam giác đều.

Do đó DBC^=60° hay ABC^=60°

Vậy điều kiện của tam giác ABC để I cũng là trọng tâm của tam giác BCD là tam giác ABC vuông tại A có ABC^=60°.

Bài 97 trang 97 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường phân giác BD. Vẽ DE vuông góc với BC tại E.

a) Chứng minh trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

b) Chứng minh trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.

c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để H cách đều các đỉnh của tam giác BAE.

Lời giải

Sách bài tập Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác  (ảnh 1) 

a) Gọi K là giao điểm của BD và AE.

Xét BAD và BED có:

BAD^=BED^(=90°),

BD là cạnh chung,

ABD^=EBD^ (do BD là tia phân giác của góc ABC)

Do đó ∆BAD = ∆BED (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BA = BE (hai cạnh tương ứng).

Xét ABK và EBK :

BA = BE (chứng minh trên),

ABK^=EBK^ (do BD là tia phân giác của góc ABC),

BK là cạnh chung

Do đó ABK = EBK (c.g.c)

Suy ra BKA^=BKE^ (hai góc tương ứng).

Mà BKA^+BKE^=180° (hai góc kề bù)

Nên BKA^=BKE^=180°2=90°

Hay BK  AE.

Do BK là đường cao của tam giác BAE và B, K, D thẳng hàng nên trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

Vậy trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

b) Ta có ADE^+EDC^=180° (hai góc kề bù)

Mà EDC^<90° (vì tam giác ECD vuông tại E nên góc EDC là góc nhọn)

Suy ra ADE^>90°

Do góc ADE là góc tù nên trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.

Vậy trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.

c) Xét tam giác ABE có H là trực tâm, để H cách đều các đỉnh của tam giác BAE thì tam giác BAE là tam giác đều (theo kết quả của Bài tập 95, trang 97, Sách Bài tập Toán 7, Tập hai).

Do đó ABE^=60° hay ABC^=60°.

Vậy điều kiện để H cách đều các đỉnh của tam giác BAE là tam giác ABC vuông tại A có ABC^=60°.

Bài 98 trang 97, 98 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB (E  AB), kẻ MF vuông góc với AC (F  AC). Gọi I là giao điểm của AM và EF. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh:

a) AM vuông góc với EF;

b) Trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC;

c) Trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên cùng một đường thẳng.

Lời giải

Sách bài tập Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác  (ảnh 1) 

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, ABC^=ACB^.

Xét BME và CMF có:

BEM^=CFM^(=90°),

BM = CM (vì M là trung điểm của BC),

ABC^=ACB^ (chứng minh trên)

Do đó ∆BME = ∆CMF (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng).

Ta có ME = MF nên M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF (1)

Lại có AB = AE + EB, AC = AF + FC

Mà AB = AC, BE = CF (chứng minh trên)

Suy ra AE = AF nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Do đó AM vuông góc với EF.

Vậy AM vuông góc với EF.

b) Xét ABM và ACM có:

AB = AC, BM = CM, AM là cạnh chung

Do đó ABM = ACM (c.c.c)

Suy ra AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng).

Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù)

Do đó AMB^=AMC^=180°2=90°

Suy ra AM  BC hay BM  AD và CM  AD .

Mà BM và CM là các đường cao tương ứng của các tam giác ABD, ACD.

Suy ra trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC.

Vậy trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC.

cTa có AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AM  EF.

Do đó trực tâm của tam giác AEF và tam giác MEF nằm trên đường thăng AM hay chính là đường thẳng AD.

Xét tam giác ABC có AM là đường cao nên trực tâm tam giác ABC nằm trên đường thẳng AM hay chính là đường thẳng AD.

Xét tam giác DBC có DM là đường cao nên trực tâm tam giác DBC nằm trên đường thẳng DM hay chính là đường thẳng AD.

Suy ra trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên đường thẳng AD.

Vậy trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên cùng một đường thẳng, đó là đường thẳng AD.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài tập cuối chương 7

Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Giải SBT Toán 7 (Cánh diều) Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác sbt
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!