Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CE

Bài 74 trang 90 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh BI = IK = KE.

Trả lời

Xét tam giác ABC có BD và AM là các đường trung tuyến, BD cắt AM tại I.

Suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC.

Nên BI = $\frac{2}{3}$BD (1)

Xét tam giác AEC có ED và AN là các đường trung tuyến, ED cắt AN tại K.

Suy ra K là trọng tâm của tam giác AEC.

Nên $EK=\frac{2}{3}ED$ (2)

Mặt khác BD = DE, DB + DE = BE

Nên BD = DE = $\frac{1}{2}$BE (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

BI = EK = $\frac{2}{3}$BD = $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}$BE = $\frac{1}{3}$BE.

Ta lại có: BI + IK + KE = BE.

Suy ra $\frac{1}{3}$BE + IK + $\frac{1}{3}$BE = BE

Suy ra IK = $\frac{1}{3}$BE.

Do đó BI = IK = EK (cùng bằng $\frac{1}{3}$BE).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác