Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm. a) Chứng minh GA = GB = GC

Bài 73 trang 90 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm.

a) Chứng minh GA = GB = GC.

b) Trên tia AG lấy điểm D sao cho GD = GA. Chứng minh tam giác BGD là tam giác đều.

Trả lời

a) • Do tam giác ABC đều nên AB = BC = AC.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Khi đó AN = NB = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$BC = BM = MC.

Xét $∆$ABM và $∆$CBN có:

AB = BC (giả thiết),

$\widehat{ABC}$ là góc chung,

BM = BN (chứng minh trên)

Do đó $∆$ABM = $∆$CBN (c.c.c).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).

• Vì G là trọng tâm tam giác ABC

Nên AG = $\frac{2}{3}$AM và CG = $\frac{2}{3}$CN (tính chất trọng tâm của tam giác).

Mà AM = CN.

Suy ra GA = GC.

Chứng minh tương tự ta có GA = GB.

Do đó GA = GB = GC.

Vậy GA = GB = GC.

b) Ta có GA = GB (theo câu a) và GA = GD (giả thiết).

Nên GD = GB (1)

Ta có G là trọng tam giác ABC nên GM = $\frac{1}{2}$GA.

Mà GA = GD nên GM = $\frac{1}{2}$GD.

Do đó GM = MD = $\frac{1}{2}$GD.

Xét $∆$GMC và $∆$DMB có:

MB = MC (chứng minh câu a),

$\widehat{GMC}=\widehat{DMB}$ (hai góc đối đỉnh),

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó $∆$GMC = $∆$DMB (c.g.c)

Suy ra GC = DB (hai cạnh tương ứng).

Lại có GC = GB (theo câu a)

Nên GB = DB (2)

Từ (1) và (2) suy ra GD = GB = DB.

Do đó tam giác BGD là tam giác đều.

Vậy tam giác BGD là tam giác đều.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác