Cho tam giác ABC cân tại A có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh: a) BM = CN

Bài 70 trang 89 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a) BM = CN;

b) Tam giác GBC là tam giác cân;

c) AG vuông góc với BC.

Trả lời

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Vì BM, CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Do đó AM = MC, AN = NB.

Mà AB = AC

Suy ra AM = MC = AN = NB.

Xét $∆$ABM và $∆$ACN có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{BAC}$ là góc chung,

AM = AN (chứng minh trên)

Do đó ∆ABM = ∆ACN (c.g.c).

Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).

Vậy BM = CN.

b) Do ∆AMB = ∆ANC (câu a) suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ABM}+\widehat{MBC}$, $\widehat{ACB}=\widehat{ACN}+\widehat{NCB}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ và $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$.  

Nên $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ hay $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$

Suy ra tam giác GBC cân tại G.

Vậy tam giác GBC cân tại G

c) Ta có AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Theo câu b tam giác GBC cân tại G nên GB = GC (hai cạnh bên).

Do đó G nằm trên trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AG vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Vậy AG vuông góc với BC.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác