Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ MD⊥BC (D∈ BC).

a) Chứng minh BA = BD.

b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh ΔABC = ΔDBE

c) Kẻ DH⊥ MC (H∈ MC) và AK⊥ ME (K ∈ ME). Gọi N là giao điểm của hai tia DH và AK. Chứng minh MN là tia phân giác góc$\widehat{HMK}.$

d) Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.

Trả lời

a) Xét 2 tam giác vuông ΔABM và ΔDBM có:

BM chung

$\widehat{ABM}=\widehat{DBM}$(do BM là phân giác)

⇒ΔABM = ΔDBM (cạnh huyền- góc nhọn)

⇒ BA = BD (hai cạnh tương ứng)

b) Xét 2 tam giác vuông ΔABC và ΔDBE có:

BA = BD (chứng minh ở câu a)

$\widehat{B}$chung

⇒ ΔABC = ΔDBE (cạnh góc vuông- góc nhọn)

c) Xét 2 tam giác vuông ΔAMK và ΔDMH có:

AM = DM (hai cạnh tương ứng do ΔABM = ΔDBM)

$\widehat{AMK}=\widehat{DMH}$(đối đỉnh)

⇒ ΔAMK = ΔDMH (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ MK = MH (hai cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông ΔMNK và ΔMNH có:

MK = MH (cmt)

$\widehat{MKN}=\widehat{MHN}={90}^{\circ }$

MN chung

⇒ ΔMNK = ΔMNH (c.g.c)

⇒ $\widehat{MNK}=\widehat{MNH}$ (hai góc tương ứng)

⇒ NM là tia phân giác của $\widehat{HMK}$(đpcm) (1)

d) Do AK = DH (hai cạnh tương ứng ΔAMK = ΔDMH)

KN = HN (hai cạnh tương ứng ΔMNK = ΔMNH)

⇒ AN = AK + KN = DH + HN = DN

Xét ΔABN và ΔDBN có:

AB = DB (cmt)

BN chung

AN = DN

⇒ΔABN = ΔDBN (c.c.c)

⇒ $\widehat{ANB}=\widehat{DNB}$ (hai góc tương ứng)

⇒ NB là tia phân giác $\widehat{AND}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra B, M, N thẳng hàng.