Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) EF = AH.

b) AM ⊥ EF.

Trả lời

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

Vì E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC nên HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC.

Do đó, $\widehat{HEB}=\widehat{HEA}=\widehat{HFA}=\widehat{HFC}={90}^{\circ }$

Xét tứ giác AFHE có: $\widehat{HEA}=\widehat{HFA}=\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

Do đó, tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

Suy ra AH = FE (hai đường chéo bằng nhau).

b) Vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên $\widehat{FHE}={90}^{\circ }$

Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A nên

$AM=MB=MC=\frac{1}{2}BC$

Tam giác AMB có AM = MB nên tam giác AMB cân tại M.

Do đó, $\widehat{MAB}=\widehat{B}$

Lại có $\widehat{B}=\widehat{AHE}={90}^{\circ }-\widehat{HEB}$

Nên $\widehat{MAB}=\widehat{AHE}$ (1).

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo FE và AH của hình chữ nhật AFHE.

Do đó, OH = OE = OF = OA.

Tam giác OAE có OA = OE nên tam giác OAE cân tại O.

Suy ra $\widehat{OEA}=\widehat{OAE}$

Mà AE song song với FH (do AFHE là hình chữ nhật) nên $\widehat{OHF}=\widehat{OAE}$ (hai góc so le trong).

Do đó, $\widehat{OHF}=\widehat{OEA}$(2).

Lại có $\widehat{OHF}+\widehat{OHE}=\widehat{FHE}={90}^{\circ }$(3).

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{MAB}+\widehat{OEA}={90}^{\circ }$

Gọi K là giao điểm của AM và EF.

Khi đó, $\widehat{KAE}+\widehat{KEA}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{AKE}={90}^{\circ }$

Vậy AM vuông góc với EF tại K.