Cho tam giác ABC vuông tại a đường cao AH. E, F lần lượt hình chiếu H trên AB và AC

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại a đường cao AH. E, F lần lượt hình chiếu H trên AB và AC. M là trung điểm BC.

a) Chứng minh AM vuông EF

b) N là trung điểm AB, MN cắt AH tại D. Chứng minh EF // BD.

Trả lời

a) Xét tứ giác AEHF có góc $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}={90}^{\circ }$

nên AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: $\widehat{AFE}=\widehat{AHE}=\widehat{ABC}$

Ta có: ΔABC vuông tại A

Mà AM là trung tuyến

Nên MA = MB = MC

⇒ ΔMAC cân tại M

⇒ $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

$\widehat{MAC}+\widehat{AFE}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}={90}^{\circ }$

⇒ AM vuông góc với EF(1)

b) Xét ΔABC có M, N lần lượt la trung điểm của BC và BA nên MN là đường trung bình

⇒ MN // AC
Hay MN vuông góc với AB

Xét ΔMAB có AH, MN là các đường cao

AH cắt MN tại D

Do đó: D là trực tâm của tam giác MAB

⇒ BD vuông góc với AM (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD // EF.