Cho tam giác ABC vuông tại A, các trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại G

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, các trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại G. Biết $AB=\sqrt{6}$cm, tính BC.

Trả lời

Xét tam giác BGA vuông tại G có:

BG² + GA² = AB

⇔ $\frac{4}{9}\left(B{E}^2+A{D}^2\right)=A{B}^2\iff B{E}^2+\frac{1}{4}B{C}^2=\frac{27}{2}\left(1\right)$

Lại có trong tam giác ABE thì AB² + AE² = BE²

⇔ $6+\frac{1}{4}A{C}^2=B{E}^2\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có: BC² + AC² = 30 mà BC² – AC² = AB² = 6

Nên BC² = 18

Suy ra: $BC=3\sqrt{2}$ .