Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 4cm. Đường cao AH, kẻ HI vuông góc AB

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 4cm. Đường cao AH, kẻ HI vuông góc AB, HK vuông góc AC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AIHK.

Trả lời

Đặt AB = x

Dễ chứng minh tam giác HBA và tam giác ABC đồng dạng (g.g)

⇒ AB² =BH.BC

⇒ x² = 4BH

Hay BH = $\frac{x^2}{4}$

Lại có: AB²= BH²+ AH²

⇒ AH² = $x^2-\frac{x^4}{16}\Rightarrow AH=\frac{x}{4}\sqrt{16-x^2}$

$S_{AIHK}=HI.HK\le \frac{H{I}^2+H{K}^2}{2}=\frac{A{H}^2}{2}=\frac{x^2(16-x^2)}{32}$

Suy ra: $S_{AIHK}=\frac{{16}^2}{32.4}=2$

Dấu “=” khi x² = 16 – x² hay x = AB = $2\sqrt{2}$; HI = HK thì tam giác ABC vuông cân tại A.