Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có đường cao AH. Gọi AD là phân giác của góc HAB

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có đường cao AH. Gọi AD là phân giác của $\widehat{HAB}.$

a) Tính cạnh AH, AC biết HB = 18cm, HC = 8cm.

b) Chứng minh tam giác ADC cân và HD.BC = BD.DC.

c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

Chứng minh S_AEF = S_ABC.(1 - cos²B).sin²C.

Trả lời

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC

Nên: AH² = BH.CH = 18.8 = 144

⇒ AH = 12cm.

AC = $\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}\mathrm{ }=4\sqrt{13}$

b) Vì AD là phân giác $\widehat{BAH}$ $\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DAH}$

$\widehat{HAC}={90}^{\circ }-\widehat{HAB}=\widehat{ABH}=\widehat{ABD}$

⇒ $\widehat{CDA}=\widehat{DAB}+\widehat{DBA}=\widehat{DAH}+\widehat{CAH}=\widehat{CAD}$

Suy ra: tam giác CAD cân tại C ⇒ CA = CD

Vì AD là phân giác $\widehat{BAH}$ ⇒ $\frac{DH}{DB}=\frac{AH}{AB}=\sin B=\frac{AC}{BC}$

⇒ HD.BC = BD.AC = DB.CD

c) Ta có: HE ⊥ AB, HF ⊥ AC, AB ⊥ AC

Nên AEHF là hình chữ nhật

⇒ AH = EF

⇒ $\widehat{AEF}=\widehat{EAH}=\widehat{BAH}={90}^{\circ }-\widehat{B}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$

⇒ ∆AFE ∽ ∆ABC (g.g)

⇒$\frac{S_{AFE}}{S_{ABC}}={\left(\frac{EF}{BC}\right)}^2=\frac{A{H}^2}{B{C}^2}$
Ta có: 1 – cos²B = sin²B

⇒ (1 – cos²B)sin²C = sin²Bsin²C = (sinBsinC)²

= ${(\frac{AC}{BC}.\frac{AB}{BC})}^2={\left(\frac{AB.AC}{B{C}^2}\right)}^2={\left(\frac{AH.BC}{B{C}^2}\right)}^2={\left(\frac{AH}{BC}\right)}^2$

⇒ $\frac{S_{AFE}}{S_{ABC}}=(1--co{s}^{2}B)si{n}^{2}C$

⇒ S_AEF = S_ABC.(1 - cos²B).sin²C.