Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ đường tròn tâm O đường kính AH

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lền lượt tại D và E.

a, Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng.

b, Các tuyến tiếp của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC.

c, Cho AB = 8cm, AC = 9cm. Tính diện tích tứ giác MDEN.

Trả lời

a) Do D, E thuộc đường tròn đường kính DE nên $\widehat{DAE}=\widehat{DHE}={90}^{\circ }$

Xét tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Do ADHE là hình chữ nhật nên hai đường chéo DE và AH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà O là trung điểm AH nên O là trung điểm DE.

Vậy D, O, E thẳng hàng.

b) Do AH vuông góc BC nên BC cũng là tiếp tuyến tại H của đường tròn (O)

Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có : DM = MH.

Xét tam giác vuông ADH có DM = MH nên DM = MH = MB hay M là trung điểm BH.

Tương tự N là trung điểm HC.

c) Dễ thấy MDEN là hình thang vuông.

Vậy thì $S_{MDEN}=\frac{(MD+EN).DE}{2}=\frac{(MH+HN).AH}{2}=\frac{MN.AH}{2}=\frac{\frac{1}{2}BC.AH}{2}$

$=\frac{1}{4}.BC.AH=\frac{1}{4}.AB.AC$

$=\frac{1}{4}\mathrm{.8.9}=18(c{m}^2).$