Cho tam giác ABC. Tìm điển N sao cho 4 vecto NA − 2 vecto NB + vecto NC = vecto 0

Đề bài. Cho tam giác ABC. Tìm điển N sao cho $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$.

Trả lời

$$\begin{gathered} 4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=4\overrightarrow{NA}-2(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{AB}\mathrm{ }+\overrightarrow{NC}\mathrm{ } \\ =\overrightarrow{NA}\mathrm{ }-2\overrightarrow{AB}\mathrm{ }+(\overrightarrow{NA}\mathrm{ }+\overrightarrow{NC}) \end{gathered}$$

Gọi H là trung điểm AC khi đó $\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{NH}$

Suy ra: $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{NH}=(\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NH})-2\overrightarrow{AB}$

Giả sử P là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{0}$

Khi đó: $\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NH}\mathrm{ }=\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PA}\mathrm{ }+2(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PH})=3\overrightarrow{NP}$

Suy ra: $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=3\overrightarrow{NP}-2\overrightarrow{AB}$

Mà $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}\mathrm{ }+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$

Nên: $3\overrightarrow{NP}-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\iff 3\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{NP}\mathrm{ }=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho $\overrightarrow{AQ}\mathrm{ }=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

⇒ $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{NP}$

Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành.

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn $\overrightarrow{AQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ và P thỏa mãn $\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{0}$ H là trung điểm của AC).