Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. M, N là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. M, N là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.

a) Biết AH = 3 cm, CH = 4 cm, tính HN và $\widehat{ACB}$ (số đo góc làm tròn đến độ).

b) Chứng minh rằng tam giác ANM đồng dạng với tam giác ABC.

Trả lời

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AHC vuông tại H:

$\frac{1}{H{N}^2}=\frac{1}{A{H}^2}+\frac{1}{H{C}^2}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}\Rightarrow HN=2,4(cm)$

$\tan \widehat{ ACB}=\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{HC}=\frac{3}{4}$

Suy ra: $\widehat{ACB}\approx {37}^{\circ }.$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông AHC, AHB có:

AH² = AN.AC; AH² = AM.AB

Suy ra: AN.AC = AM.AB

⇒ $\frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}$

Xét tam giác AMN và tam giác ABC có:

Chung $\widehat{A}$

$\frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}$

⇒ ∆AMN ∽ ∆ABC (c.g.c).