Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của H trên AB

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của H trên AB.

a. Biết AE = 3,6 cm; BE = 6,4 cm. Tính AH, EH và góc $\widehat{B}$ (Số đo góc làm tròn đến độ)

b. Kẻ HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh AB.AE = AC.AF.

c. Đường thẳng qua A và vuông góc với EF cắt BC tại D; EF cắt AH tại O.

Chứng minh rằng $S_{ADC}=\frac{S_{AOE}}{{\sin }^{2}B.{\sin }^{2}C}.$

Trả lời

a) Trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

EH² = AE.BE = 3,6.6,4 = 23,04 ⇒ EH = 4,8 (cm)

AH² = AE.AB = 3,6(3,6 + 6,4) = 36 ⇒ AH = 6 (cm)

$sin\widehat{B}=\frac{AH}{AB}=\frac{6}{3,6+6,4}\Rightarrow \widehat{B}=36,{87}^{\circ }\approx {37}^{\circ }$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABH vuông tại H:

AH² = AE.AB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ACH vuông tại H:

AH² = AF.AC

Suy ra: AB.AE = AC.AF (= AH²)

c) Xét tam giác AEF và tam giác ABC có:

Chung $\widehat{A}$

$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$ (từ AB.AE = AC.AF)

⇒ ∆AEF ∽ ∆ACB (c.g.c)

⇒ $\widehat{AEF}=\widehat{ACB};\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$

Gọi I là giao điểm AD và EF

Có: tam giác IAF vuông tại I nên $\widehat{IAF}+\widehat{IFA}={90}^{\circ }$

Tam giác ABH vuông tại H nên $\widehat{BAH}+\widehat{ABH}={90}^{\circ }$

Mà: $\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$ hay $\widehat{IFA}=\widehat{ABH}$ nên $\widehat{BAH}=\widehat{IAF}$

Xét tam giác AOE và ADC có:

$\widehat{EAO}=\widehat{DAC} (vì \widehat{BAH}=\widehat{IAF})$

$\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\iff \widehat{AEO}=\widehat{DCA}$

Suy ra: ∆AOE ∽ ∆ADC (g.g)

⇒ $$\begin{gathered} \frac{S_{ADC}}{S_{AOE}}=\frac{A{C}^2}{A{E}^2}=\frac{{\left(\frac{AH}{\sin C}\right)}^2}{{(AH.\cos \widehat{BAH})}^2} \\ =\frac{1}{{\sin }^{2}C.{\cos }^2\widehat{BAH}}=\frac{1}{{\sin }^{2}C.{\sin }^{2}B} \end{gathered}$$

(vì tam giác ABH vuông tại H nên $\cos \widehat{BAH}=\sin \widehat{B}$).