Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE.

a, Cho góc A = 60 độ và AC = 12cm. Tính AE.

b, Tia DE cắt BC ở F, chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.

c, Chứng minh FB.FC = FE.FD.

Trả lời

a) Ta có: $\sin \widehat{A}=\frac{CE}{CA}\Rightarrow CE=CA.\sin \widehat{A}=6\sqrt{3}$

$AE=\sqrt{A{C}^2-C{E}^2}Â\mathrm{ }=6(cm)$

b) Xét ΔADB, ΔAEC có:

Chung $\widehat{A}$

$\widehat{D}=\widehat{E}={90}^{\circ }$

⇒ ΔADB ∽ ΔAEC(g.g)

⇒ $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$

Mà $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$

⇒ΔADE ∽ ΔABC (c.g.c)

c.Từ câu b ⇒ $\widehat{AED}=\widehat{ACB}$

⇒ $\widehat{FEB}=\widehat{AED}=\widehat{ACB}=\widehat{FCD}$

Mà $\widehat{EFB}=\widehat{DFC}$
⇒ ΔFBE ∽ ΔFDC (g.g)

⇒ $\frac{FB}{FD}=\frac{FE}{FC}$

⇒ FB.FC = FE.FD.