Cho tam giác ABC đều cạnh a, điểm M là trung điểm BC

Đề bài. Cho tam giác ABC đều cạnh a, điểm M là trung điểm BC.

Tính $|\frac{3}{4}\overrightarrow{MA}\mathrm{ }-2,5\overrightarrow{MB}|$.

Trả lời

Ta có tam giác ABC đều, M là trung điểm BC nên AM vuông góc BC

Suy ra: $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2};MB=MC=\frac{1}{2}a$

Trên MA lấy điểm D sao cho $MD=\frac{3}{4}MA=\frac{3\sqrt{3}a}{8}\Rightarrow \overrightarrow{MD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MA}$

Trên MC lấy E sao cho ME = 2,5MB = $\frac{5}{4}a$

⇒ $\overrightarrow{ME}=-2,5\overrightarrow{MB}\mathrm{ }\Rightarrow \frac{3}{4}\overrightarrow{MA}-2,5\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}$

Vẽ hình chữ nhật MEFD nên MF = DE = $\sqrt{M{D}^2+M{E}^2}\mathrm{ }=\frac{a\sqrt{127}}{8}$

Lại có: $\overrightarrow{MD}\mathrm{ }+\overrightarrow{ME}\mathrm{ }=\overrightarrow{MF}$

⇒ $|\frac{3}{4}\overrightarrow{MA}\mathrm{ }-2,5\overrightarrow{MB}|=\left|\overrightarrow{MF}\right|=\frac{a\sqrt{127}}{8}$.