Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF

Đề bài. Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF. Chứng minh:

a) DB = CF.

b) ∆BDC = ∆FCD.

c) DE // BC và $DE=\frac{1}{2}BC.$

Trả lời

a) Xét tam giác AED và CEF có:

EA = EC

$\widehat{AED}=\widehat{CEF}$ (đối đỉnh)

ED = EF

⇒ ∆AED = ∆CEF (c.g.c)

⇒ DA = CF

Mà DA = DB nên DB = CF

b) ∆AED = ∆CEF nên: $\hat{A}=\widehat{ECF}$

Suy ra: AB // CF

⇒ $\widehat{BDC}=\widehat{DCF}$ (so le trong)

Xét tam giác BDC và FCD có:

DC chung

$\widehat{BDC}=\widehat{DCF}$

BD = CF

⇒ ∆BDC = ∆FCD (c.g.c)

c) ∆BDC = ∆FCD nên $\widehat{DCB}=\widehat{CDF}$

Suy ra: DE // BC (2 góc so le trong bằng nhau)

Lại có BC = DF = 2DE

Nên: $DE=\frac{1}{2}BC$.