Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH và BK là hai đường cao, HK = căn 7

Đề bài. Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH và BK là hai đường cao, HK = $\sqrt{7}$, diện tích tứ giác ABHK bằng 7 lần diện tích tam giác CHK. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng?

Trả lời

Ta có: $\widehat{AKB}=\widehat{AHB}={90}^{\circ }$

Suy ra ABHK nội tiếp đường tròn đường kính AB

⇒ $\widehat{CHK}=\widehat{CAB},\widehat{CKH}=\widehat{CBA}$

⇒ ΔCHK ∽ ΔCAB (g.g)

⇒ $\frac{S_{CAB}}{S_{CHK}}=\frac{A{B}^2}{H{K}^2}\Rightarrow \frac{S_{CAB}-S_{CHK}}{S_{CHK}}=\frac{A{B}^2}{7}-1\iff \frac{S_{ABHK}}{S_{CHK}}=\frac{A{B}^2}{7}-1\iff 7=\frac{A{B}^2}{7}-1$

Suy ra: AB = $2\sqrt{14}$

Mặt khác: $\frac{CH}{CA}=\frac{HK}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

⇒$\sin \widehat{C}=\frac{CH}{CA}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

Do $\frac{AB}{\sin \widehat{C}}=2R\Rightarrow R=4\sqrt{7}.$