Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD = 6, nó chia cạnh BC thành hai đoạn BD = 2, CD = 3. Tính AB, AC

Đề bài. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD = 6, nó chia cạnh BC thành hai đoạn BD = 2, CD = 3. Tính AB, AC.

Trả lời

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$ , suy ra: $AB=\frac{2}{3}AC$ (*)

$\cos \widehat{BAD}=\cos \widehat{CAD}$(vì AD là phân giác)

⇔ $\frac{A{B}^2+A{D}^2-B{D}^2}{2.AB.AD}=\frac{A{C}^2+A{D}^2-C{D}^2}{2.AC.AD}$

⇔ $\frac{A{B}^2+6^2-2^2}{12AB}=\frac{A{C}^2+6^2-3^2}{12AC}$

⇔ $\frac{A{B}^2+34}{12AB}=\frac{A{C}^2+27}{12AC}$ (**)

Thay (*) vào (**) ta được: $\frac{\frac{4}{9}A{C}^2+34}{12.\frac{2}{3}AC}=\frac{A{C}^2+27}{12AC}$

⇔ $\left(\frac{4}{9}A{C}^2+34\right).12AC=\left(A{C}^2+27\right).8AC$

⇔ $\left(\frac{4}{9}A{C}^2+34\right).12=\left(A{C}^2+27\right).8$

⇔ $-\frac{8}{3}A{C}^2+192=0$

⇔ $AC=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

Suy ra: $AB=\frac{2}{3}.6\sqrt{2}=\frac{12\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$ .