Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Dựng đường tròn (K) đường kính BC cắt các cạnh AB

Đề bài. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Dựng đường tròn (K) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm F, E. Gọi H là giao điểm của BE và CF.

a) Chứng minh rằng AF.AB = AE.AC và AH vuông góc BC.

b) Chứng minh OA vuông góc EF.

Trả lời

a) Ta có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Suy ra: BE, CF là hai đường cao của tam giác ABC

⇒ H là trực tâm của tam giác ABC

AH là đường cao của ABC nên AH ⊥ BC tại S

$\cos \widehat{BAC}=\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\Rightarrow AE.AC=AF.AB$

b) Vẽ tiếp tuyến Ax của (O)

Có: $\widehat{ACB}=\widehat{BAx}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AB)

$\widehat{ABC}=\widehat{AFE}$(vì cùng bù $\widehat{BFE}$ )

⇒ $\widehat{BAx}=\widehat{AFE}$ mà hai góc ở vị trí so le trong nên Ax // EF

Ta lại có OA ⊥ Ax (Ax là tiếp tuyến của (O)) ⇒ OA ⊥ EF.