Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và các trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau

Đề bài. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và các trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Chứng minh: $cotC +cotB⩾\frac{2}{3}$

Trả lời

Kẻ đường cao AH, trung tuyến AD, trọng tâm G

Tam giác AHD vuông tại H nên AH ≤ AD

⇒ $\frac{BC}{AH}\ge \frac{BC}{AD}\left(1\right)$

Ta có: $cotC+cotB=\frac{CH}{AH}+\frac{BH}{AH}=\frac{BC}{AH}\ge \frac{BC}{AD}$ (2)

Mà BM vuông góc CN nên GD là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

Suy ra: BC = 2GD (3)

Mà G là trọng tâm nên 3GD = AD (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ $cotC +cotB⩾\frac{BC}{AD}=\frac{2GD}{3GD}=\frac{2}{3}$