Cho tam giác ABC có: 2 góc B + 3 góc C = 180 độ . Chứng minh BC^2 = BC.AC + AB^2

Đề bài. Cho tam giác ABC có: $2\widehat{B}+3\widehat{C}=180°$. Chứng minh BC² = BC.AC + AB².

Trả lời

Theo giả thiết: $2\widehat{B}+3\widehat{C}=180°$ nên $2\widehat{B}+3\widehat{C}=\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}\iff \widehat{A}=\widehat{B}+2\widehat{C}$

Nên góc A lớn nhất, cạnh BC lớn nhất trong tam giác ABC

Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = AC

$\widehat{ADB}=180°-\widehat{ADC}=180°-\frac{180°-\widehat{C}}{2}\left(1\right)$

Thay $2\widehat{B}+3\widehat{C}=180°$ vào (1) ta có:

$\widehat{ADB}=180°-\frac{2\widehat{B}+3\widehat{C}-\widehat{C}}{2}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=\widehat{A}\left(2\right)$

Suy ra: ∆CBA ∽ ∆ABD (g.g)

⇒ $\frac{BC}{AC}=\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{BC-CD}=\frac{AB}{BC-AC}$

⇒ BC² – BC.AC = AB²

⇒ BC² = BC.AC + AB².