Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Bài 9 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD.

a) Chứng minh rằng SMDSNC.

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SNC).

Trả lời

Bài 9 trang 86 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Tam giác SAB đều có M là trung điểm AB nên SM ⊥ AB. Mà (SAB) ⊥ (SAB) nên SM ⊥ (ABCD). Suy ra SM ⊥ NC.

Xét ΔAMD và ΔDNC

AM = DN

MAD^=NDC^

AD = DC

Do đó ΔAMD và ΔDNC (c.g.c)

Suy ra AMD^=CND^ (hai góc tương ứng)

 AMD^+ADM^=90° nên CND^+ADM^=90°.

Từ đó ta có tam giác DNI vuông tại I hay DM ⊥ NC. Mà SM ⊥ NC nên NC ⊥ (SND).

Vậy (SNC) ⊥ (SMD).

b) Kẻ MH ⊥ SI (H  SI).

Vì NC ⊥ (SMD) ⇒ NC ⊥ MH ⇒ MH ⊥ (SNC)

Tam giác SAB đều có SM là trung tuyến nên SM=a32

Tam giác CND vuông có DI là đường cao nên 1DI2=1DN2+1DC2.

Suy ra DI=a55

 DM=AM2+AD2=a55

 MI=MDDI=3a510

Và SM ⊥ (ABCD) nên SM ⊥ MI.

Tam giác SMI vuông tại M có MH là đường cao

1MH2=1SM2+1MI2MH=3a28

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả