Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD

Đề bài: Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, CD. Chứng minh góc AMN = 90°.Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, CD.
a) Chứng minh góc AMN = 90°
b) A, M, N, D cùng thuộc 1 đường tròn
c) So sánh AN với MD

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) Kẻ NH vuông góc với DO

Ta có ABCD là hình vuông $\Rightarrow AC\perp BD$

Mà N là trung điểm DC, $NH\perp DO\Rightarrow NH//OC$

Suy ra NH là đường trung bình

Mà M là trung điểm OB (gt)

Suy ra H là trung điểm OD, $NH=\frac{1}{2}OC=OM$

Suy ra HM = OA

Xét tam giác OMA và tam giác HNM có:

$\widehat{H}=\widehat{O}=90°$

NH = MO

HM = OA

$\Rightarrow \Delta OMA=\Delta HNM\left(c.g.c\right)$

$\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{HMN}$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{AMO}+\widehat{HMN}=\widehat{AMO}+\widehat{OAM}=90°$ (đpcm).

b) Gọi I là trung điểm của AN

Tam giác AMN vuông tại M $\Rightarrow MI=\frac{1}{2}AN=AI$

Tam giác ADN vuông tại D $\Rightarrow DI=\frac{1}{2}AN=AI$

Suy ra IA = IM = IN = ID

Suy ra 4 điểm A, M, N, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính IA.

c) Xét đường tròn ngoài tiếp tứ giác AMND có AN là dường kính và DM là dây nên AN > DM.