Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a (Hình 16). a) Tìm trong hình hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng (a căn 2)/2

Bài 3 trang 86 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a (Hình 16).

a) Tìm trong hình hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

b) Tìm trong hình hai vectơ đối nhau và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$.

Trả lời

a) Hình vuông ABCD có tâm O nên AC $\perp$ BD và OA = OB = OC = OD.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AOD vuông tại O có:

OA² + OD² = AD²

$\Rightarrow$ 2OA² = a²

$\Rightarrow$ OA² = $\frac{a^2}{2}$

$\Rightarrow$ OA = $\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (do OA là độ dài đoạn thẳng nên OA > 0)

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{CO}$ cùng hướng và $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{CO}\right|$ nên hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ là vectơ $\overrightarrow{OA}$ và vectơ $\overrightarrow{CO}$.

Chú ý: Ngoài ra chúng ta có thể có hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ là vectơ $\overrightarrow{OB}$ và vectơ $\overrightarrow{DO}$, …

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D:

AD² + DC² = AC²

$\Rightarrow$ a² + a² = AC²

$\Rightarrow$ AC² = 2a²

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{2}$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CA}$ ngược hướng và $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|$ nên hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$ là vectơ $\overrightarrow{AC}$ và vectơ $\overrightarrow{CA}$.

Chú ý: Ngoài ta chúng ta có thể có hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$ là vectơ $\overrightarrow{B\text{D}}$ và vectơ $\overrightarrow{DB}$.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Khái niệm vectơ

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ