Cho hàm số f(x) = tanx khi 0 nhỏ hơn hoặc bằng x nhỏ hơn hoặc bằng pi/4; k - cotx khi pi/4 < x nhỏ hơn hoặc băgf pi/2

Câu 14 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\mathrm{(x)} =\left\{\begin{array}{l}\tan x khi 0 \le x\le \frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ k-cotx khi \frac{\mathrm{\pi }}{4}<x\le \frac{\mathrm{\pi }}{2}\end{array}\right.$ liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right].$ Giá trị của k bằng:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. $\frac{\pi }{2}.$

Trả lời

Đáp án đúng là: C

− Hàm số y = tanx là hàm lượng giác có tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi }\right\}$ với k ∈ ℤ nên nó liên tục trên các khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi };\frac{\pi }{2}+\left(k+1\right)\pi \right)$

Mà $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)\subset \left(\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi };\frac{\pi }{2}+\left(k+1\right)\pi \right)$ nên hàm số y = tanx liên tục trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$

− Hàm số y = k – cotx là hàm lượng giác có tập xác định D = ℝ \ {kπ} với với k ∈ ℤ nên nó liên tục trên các khoảng (kπ; (k + 1)π).

Mà $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)\subset \left(\mathrm{k\pi };\left(k+1\right)\pi \right)$ nên hàm số y = k – cotx liên tục trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right).$

− Do đó, để hàm số liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ thì hàm số liên tục tại điểm $x=\frac{\pi }{4}$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right),\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right).$

⦁ Hàm số liên tục tại điểm $x=\frac{\pi }{4}$ khi và chỉ khi $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff \tan \frac{\pi }{4}=k-\cot \frac{\pi }{4}=k-\cot \frac{\pi }{4}\iff k-1=1\iff k=2\left(1\right)$

⦁ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\iff \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{tanx}=\tan 0\iff \tan 0=\tan 0$ (luôn đúng)

⦁ $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right)\iff \underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }\left(k-\text{cot}x\right)$

$=k-\text{cot}\frac{\pi }{2}\iff k-\text{cot}\frac{\pi }{2}=k-\text{cot}\frac{\pi }{2}$ (luôn đúng)

Vậy k = 2.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3